在将角度转换成弧度之后，对于实数 \(x\)，我们都可以将其考虑成弧度，进一步定义它的某个三角函数值。例如正弦函数，对每一个实数 \(x\)，定义 \(f(x)=\sin x\)。定义完六个三角函数之后，可以利用描点的方式绘出函数图形。
例如 \(y=f(x)=\sin x\) 的图形如下： 
接下来，笔者将以 \(f(x)=\sin x\) 的图形为例，来说明三角函数图形的平移与伸缩如何作图，
以及平移与伸缩对图形的基本特徵如週期、振幅与极值的影响。
图形的平移
首先，考虑 \(y=\sin{(x+\frac{\pi}{2})}\) 与图形 \(y=\sin x\) 的关係。
因为 \(x\) 方向有变动，因此可考虑对应 \(y\) 值为 \(0,1,0,-1,0\) 这几个点的 \(x\) 值，如下表：
描点绘出图形如下图中红色之曲线，
可以看出其与 \(y=\sin x\) 图形的关係，为 \(y=\sin x\) 图形向左平移 \(\frac{\pi}{2}\)。
从上图中也可看出红色的曲线 \(y=\sin{(x+\frac{\pi}{2})}\) 的图形，与 \(y=\cos x\) 的图形可完全重合，
因此可知 \(y=\sin x\) 的图形往左移 \(\frac{\pi}{2}\)，即可得到 \(y=\cos x\) 的图形。
由正弦与余弦的关係亦可得到它们图形的这个特性，因为 \(\sin{(x+\frac{\pi}{2})}=\cos x\)。
从这个例子推广，考虑 \(y=\sin{(x-c)}\) 与图形 \(y=\sin x\) 的关係，
以 \(y=\sin x\) 图形为基础，\(c>0\) 时，图形往右移 \(c\) 单位；当 \(c<0\) 时，图形往左移 \(c\) 单位。
接着是 \(y\) 方向的平移，考虑 \(y=\sin x+1\) 与 \(y=\sin x\) 两图形的关係。
先利用描点绘出 \(y=\sin x +1\) 的图形：
绘出图形如上右图中红色之曲线，
可以看出其与 \(y=\sin x\) 图形的关係，为 \(y=\sin x\) 图形向上平移 \(1\) 单位，
此时函数的极大值为变为 \(2\)，极小值为 \(0\)。
从这个例子推广，考虑 \(y=\sin x+d\) 与图形 \(y=\sin x\) 的关係，
以图形 \(y=\sin x\) 为基础，\(d>0\) 时，图形往上移 \(d\) 单位；
当 \(d<0\) 时，图形往下移 \(d\) 单位，此时函数的极值会产生变化。
图形的伸缩
考虑 \(y=\sin{2x}\) 与 \(y=\sin x\) 图形的关係。
因为 \(x\) 方向有变动，因此可考虑对应 \(y\) 值为 \(0,1,0,-1,0\) 这几个点的 \(x\) 值，如下表：
描点绘出图形如上右图中红色之曲线，可以看出与 \(y=\sin x\) 图形的关係，
其图形为 \(y=\sin x\) 图形以原点为伸缩中心，\(x\) 方向伸缩 \(\frac{1}{2}\) 倍（\(x’=\frac{1}{2}x\)）。
因此原本 \(y=\sin x\) 图形的週期为 \(2\pi\)，经过压缩，可得 \(y=\sin{2x}\) 图形的週期为 \(\frac{2\pi}{2}=\pi\)。
从这个例子推广，考虑当 \(b>0\) 时， \(y=\sin(bx)\) 与 \(y=\sin x\) 图形的关係，
以 \(y=\sin x\) 图形为基础，原点为伸缩中心，作 \(x\) 方向的伸缩，其週期变为 \(\frac{2\pi}{b}\)。
当 \(b<0\) 时，只须再考虑对 \(x\) 轴作对称即可，
以 \(y=\sin{(-2x)}=-\sin{2x}\) 为例，其图形如下：
接着是 \(y\) 方向的伸缩。考虑考虑 \(y=2\sin x\) 与 \(y=\sin x\) 两图形的关係。
先利用描点绘出 \(y=2\sin x\) 的图形：
绘出图形如上右图中红色之曲线，可以看出其与 \(y=\sin x\) 图形的关係，
为 \(y=\sin x\) 图形以原点为伸缩中心，\(y\) 方向伸缩 \(2\) 倍（\(y’=2y\)）。
因此原本 \(y=\sin x\) 图形的振幅为 \(1\)，经过伸缩，可得 \(y=2\sin x\) 图形的振幅 \(1\times 2=2\)。
从这个例子推广，考虑当 \(a>0\) 时，\(y=a\sin x\) 与 \(y=\sin x\) 图形的关係，
以 \(y=\sin x\) 图形为基础，原点为伸缩中心，作 \(y\) 方向的伸缩，其振幅变为 \(a\)。当 \(a<0\) 时，
只须再考虑对 \(x\) 轴作对称即可，以 \(y=-2\sin x\) 为例，其图形如下：
当 \(x\) 方向的平移与伸缩同时进行时，要特别注意其平移量的多寡。
例如 \(y=\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}\) 的图形，考虑原本 \(y=\sin x\) 图形中之 \((0,0)\) 这个点的变化，
当 \(2x-\frac{\pi}{2}=0\) 时，\(y=0\)，此时 \(2x=\frac{\pi}{2},x=\frac{\pi}{4}\)，
亦即 \(y=\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}\) 为 \(y=\sin x\) 的图形右移 \(\frac{\pi}{4}\) 后再作 \(x\) 方向伸缩 \(\frac{1}{2}\) 倍。
也就是说，要将 \(y=\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}\) 化成 \(y=\sin{(2(x-\frac{\pi}{4}))}\) 来考虑。
综合论之，考虑 \(y=a\sin{[b(x-c)]}+d\) 图形与 \(y=\sin x\) 图形的关係，
在原本的 \(y=\sin x\) 图形中，振幅变为 \(|a|\) 倍；週期变为 \(\frac{2\pi}{|b|}\)；
当 \(c>0\) 时，往右移 \(c\) 单位，当 \(c<0\) 时，往左移 \(c\) 单位；
当 \(d>0\) 时，往上移 \(d\) 单位，当 \(d<0\) 时，往下移 \(d\) 单位，此时函数的极值会产生变化。